Никакими другими правильными многоугольниками покрыть плоскость без пробелов и наложений не получится. Вот как можно это объяснить. Как известно, сумма внутренних углов любого многоугольника равна (n – 2) · 180°, где n — количество углов многоугольника. Поскольку все углы правильного многоугольника одинаковые, то градусная мера каждого угла есть (n – 2) · 180° / n. Если плоскость можно замостить такими фигурами, то в каждой вершине сходится некоторое количество многоугольников (k). Сумма углов при этой вершине должна составлять 360°, поэтому k * (n – 2) · 180° / n =360°.

Но, как легко проверить, последнее уравнение имеет только три пары решений, если считать, что n и k натуральные числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 или k = 6, n = 3. Этим парам чисел как раз и соответствуют правильным треугольнику, четырёхугольнику и шестиугольнику.

Замостить бесконечную плоскость можно любым треугольником, помимо правильного - достаточно каждую их пару сложить так, чтобы треугольники образовывали параллелограмм.

С любым параллелограммом также можно создать паркет, и убедиться в этом очень и очень просто.

Но, несмотря на то, что правильным пятиугольником заполнить плоскость невозможно, существуют типы пятиугольников, которые образуют паркеты. То есть, с использованием одних пятиугольников заполнение плоскости без пробелов и перекрытий удастся, а с использованием других – нет.

Виды замощений:

Замощение с использованием указанных выше правильных многоугольников относится к периодическим, то есть плоскость заполняется сдвигами одной и той же фигуры и выполнена, выражаясь понятнее, по принципу «копировать-вставить».

Что касается изучения непериодичного (или апериодичного) замощения, то этой проблеме уже около 50 лет.

Вплоть до 1964 года никто не верил, что можно создать плитки, которыми можно замостить плоскость, не повторяя перемещений узора. Но в 1964 году Роберт Бергер придумал набор, состоящий из 20426 фигур. Правда, он почти сразу сократил число используемых фигур до 104. Затем в 1968 году знаменитый американский математик Дональд Кнут уменьшил количество разных плиток до 92.

В 1971 году американский математик Рафаэль Робинсон на основе результатов Бергера создал набор всего из шести фигур, основанных на изменении квадрата.

В 1973 году Роджер Пенроуз придумал шесть других фигур, способных непериодично замостить плоскость. Этот тип мозаики строится из плиток шести типов: три из них имеют форму правильного пятиугольника (они различаются между собой правилами сочетаний), остальные имеют форму пятиконечной звезды, «лодочки» (похожа на звезду с отрезанными двумя лучами) и ромба.

Но настоящая известность пришла к учёному, когда он понял, что можно сократить количество используемых плиток до двух немного различающихся ромбов (с углами 72, 108 ("толстые ромбы") и 36, 144 ("тонкие ромбы"))

Нидерландский художник Мауриц Корнелис Эшер , родившийся в 1898 году в Леувардене, использовал базовые образцы мозаик, основанных на правильных треугольниках, квадратах и шестиугольниках, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражением, смещением и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искажённые образцы мозаик имели трёх-, четырёх- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.